向量积怎么求向量积，也称为叉积（Cross Product），是两个向量在三维空间中的一种乘法运算方式。它不仅涉及到大致，还涉及到路线，其结局一个与原两个向量都垂直的新向量。向量积在物理、工程和计算机图形学中有着广泛的应用。
一、向量积的基本概念
向量积的定义如下：
设向量 a = (a?, a?, a?) 和向量 b = (b?, b?, b?)，则它们的向量积 a × b 一个向量，其路线由右手定则决定，大致为
向量积的结局一个新的向量，记作 c = a × b，其中：
– c 的模长：
– c 的路线：垂直于 a 和 b 所在的平面，路线由右手螺旋法则确定
二、向量积的计算技巧
向量积的计算可以通过行列式的方式进行，也可以通过分量展开的方式进行。
技巧一：行列式法
$$
\mathbfa} \times \mathbfb} =
\beginvmatrix}
\mathbfi} & \mathbfj} & \mathbfk} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\endvmatrix}
$$
展开后得到：
$$
\mathbfa} \times \mathbfb} = (a_2b_3 – a_3b_2)\mathbfi} – (a_1b_3 – a_3b_1)\mathbfj} + (a_1b_2 – a_2b_1)\mathbfk}
$$
技巧二：分量计算法
若已知向量 a 和 b 的分量，则可以直接代入下面内容公式计算：
$$
\mathbfa} \times \mathbfb} =
\beginbmatrix}
a_2b_3 – a_3b_2 \\
a_3b_1 – a_1b_3 \\
a_1b_2 – a_2b_1
\endbmatrix}
$$
三、向量积的性质拓展资料
| 属性 | 描述 | ||||
| 运算对象 | 两个向量（三维空间） | ||||
| 结局类型 | 向量 | ||||
| 大致 | a | b | sinθ | ||
| 路线 | 垂直于 a 和 b 所在平面，符合右手定则 | ||||
| 交换律 | 不满足，即 a × b ≠ b × a，而是 a × b = -(b × a) | ||||
| 分配律 | 满足，即 a × (b + c) = a × b + a × c | ||||
| 线性性 | 满足线性关系，如 (ka) × b = k(a × b) |
四、实际应用举例
例如，已知向量 a = (1, 2, 3)，向量 b = (4, 5, 6)，则：
$$
\mathbfa} \times \mathbfb} =
\beginbmatrix}
(2×6 – 3×5) \\
(3×4 – 1×6) \\
(1×5 – 2×4)
\endbmatrix}
=
\beginbmatrix}
12 – 15 \\
12 – 6 \\
5 – 8
\endbmatrix}
=
\beginbmatrix}
-3 \\
6 \\
-3
\endbmatrix}
$$
因此，a × b = (-3, 6, -3)
五、注意事项
– 向量积只适用于三维空间中的向量；
– 在二维空间中，可以将向量视为 z 分量为 0 的三维向量进行计算；
– 向量积的路线需要特别注意，不能随意调换顺序；
– 计算时要仔细检查符号，避免出错。
拓展资料
向量积是向量运算中非常重要的一个概念，尤其在涉及旋转、力矩、磁场等物理难题中广泛应用。掌握其计算技巧和性质，有助于更深入地领会向量之间的关系及其在实际难题中的应用。
