等差数列的通项公式
大家好，今天给大家带来的是等差数列通项公式和求和公式的及其运用的专题。数列有很多类型，而等差数列和等比数列则是一切数列的基础，而等差数列则比等比数列更多了一些变化，下面和大家一起探讨一下。
一、理论储备。
等差数列通项公式：
等差数列求和公式：
（分别记为1式和2式，方便下文引用）
拓展公式：
二、方法运用。
类型1：求等差数列通项公式。
思路一：把题目的所有已知条件转化为a1和d，通过解方程组得到a1和d的值，进而套用通项公式得解。
思路二：观察下标间的关系，利用上面的﹡式化简，然后再考虑用基础公式或者拓展公式求解。
例题1：
这里运用的是思路二，观察下标2，4，6发现2+6=2*4，因而a2、a4、a6知二求一。
若使用思路一，则：a2=a1+d,a4=a1+3d,代入题目条件即得a1+d=1, a1+5d=21,可解得d=5,a1=-4,故a4= a1+3d=11.
另解：d==5,故a4= a2+2d=11。
大家可以好好品味其中的奥妙及优劣。
例题二：
此题下标1、9、13并无关联，故直接用基础通项公式化为a1和d的方程组求解。
另解：a1+a9-2a4=(a9-a4)+(a1-a4)=5d+(-3d)=2d=16-2,d=7,故a13=a4+9d=64.
此解奥妙在于将an-am=(n-m)d运用到了极致。
由此可以设计题目如下，大家不妨分别用普通方法和上面的方法一试：
已知等差数列{an}中，a3+4a9=39,a5=5,则a8= ？
例题三：
此题由题目条件，我们只能得到a1和d的关系，并不能像上面的题目一样直接算出具体的值，此时不要慌，在要求的结论中，我们一定可以利用得到的这个关系式，代入即可得到答案。对于小题而言，如果你有强迫症的话，也不妨直接令a1和d取一组符合关系式的值，代入题目即可得解。
类型二：等差数列前n项和。
思路一：利用求和公式2式，将Sn转化为a1、d、n的式子，而同样的，题目中的am也全部转化为a1和d，通过解a1和d的方程组，或者利用整体代换求解。
思路二：利用求和公式1式，若a1+an不知道，则利用an+am=ap+aq（=2a 若n+m为偶数）取寻找a-1+an的等值替代式。
例题1：
此题解法众多，我们再用思路1试试：
a1+a3+a5= a1+ a1+2d+a1+4d=3 a1+6d=39,
a5+a7+a9= a1+4d+ a1+6d+a1+8d=3 a1+18d=27,
两式联立解得a1=15,d=-1;S9=9 a1+9*8*d/2=99.
思路二：题中两式相加，得a1+a3+a5+a5+a7+a9=66,观察下标，首尾等距和为10，故可变为6a5=66, a5=11,故S9=(a1+a9)*9/2=2a5*9/2=99。
例题二：
此题用思路二则是死路一条，那么就用a1、d、n大胆算吧。
例题三：
小结：等差数列的通项公式和求和问题，我们往往可以直接利用a1和d暴力求解，能利用公式列式并正确计算即可，当然，我们如果能仔细观察下标，合理利用拓展公式，往往能够避免繁多的计算，迅速得解。究竟是动手列式，说算就算，还是三思而后行，大家不妨一起讨论一下哦。
